A.
Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat dalam x
mempunyai bentuk umum:
ax2 + bx + c = 0 , a ¹
0
a, b dan c adalah bilangan real.
- a. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan
ax2 + bx
+ c = 0 dapat dinyatakan menjadi a (x – x1)
(x – x2) = 0.
Nilai x1 dan x2
disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat.
Contoh :
Tentukan penyelesaian dari 2 x2
+ 7 x + 6 = 0.
Jawab: 2 x2
+ 7 x + 6 = 0
2 x2 + 4 x
+ 3 x + 6 = 0
2 x (x + 2) + 3 (x
+ 2) = 0
(x + 2) (2 x + 3) = 0
x
+2 = 0 atau 2 x + 3 = 0
x
= –2
atau x = – 1
Jadi, penyelesaiannya adalah
–2 dan –1.
- b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat
sempurna
Persamaan kuadrat ax2
+ bx + c = 0 dapat diselesaikan dengan mengubahnya
menjadi (x + p)2 = q.
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari x2
– 6 x + 5 = 0.
Jawab: x2 –
6 x + 5 = 0
x2 – 6 x
+ 9 – 4 = 0
x2 – 6 x
+ 9 = 4
(x – 3)2 = 4
x
– 3 = 2 atau x – 3 = –2
x
= 5 atau x = 1
Jadi, himpunan penyelesaiannya
adalah{ 1 , 5}.
- c. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan
rumus
Rumus penyelesaian persamaan kuadrat
a x2 + b x + c = 0 adalah
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari x2
+ 7x – 30 = 0.
Jawab: x2 +
7x – 30 = 0
a
= 1 , b = 7 , c = – 30
x
= 3 atau x = –10
Jadi, himpunan penyelesaiannya
adalah {–10 , 3}.
2.
Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat
Kita perhatikan kembali persamaan
kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan
akar-akarnya , b2 – 4ac disebut diskriminan
(D). Apabila:
- D > 0 maka ÖD merupakan bilangan
real positif, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real
berlainan, .
- D = 0 maka ÖD = 0, sehingga persamaan
kuadrat mempunyai dua akar real
sama.
.
- D < 0 maka ÖD merupakan bilangan
tidak real (imajiner), maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real
atau persamaan kuadrat mempunyai akar tidak real.
Contoh :
- x2 + 5 x + 2 = 0
a = 1 , b = 5 , c = 2
D = b2 – 4ac =
52 – 4 . 1 . 2 = 25 – 8 = 17
Ternyata D > 0. Jadi,
persamaan x2 + 5 x + 2 = 0 mempunyai dua akar
real berlainan.
2.
x2 – 10 x
+ 25 = 0
a = 1 , b = -10 , c = 25
D = b2 – 4ac =
(-10)2 – 4 . 1 . 25 = 100 – 100 = 0
Karena D = 0, maka persamaan x2
– 10 x + 25 = 0 mempunyai dua akar real sama.
3.
3 x2 – 4 x
+ 2 = 0
a = 3 , b = –4 , c = 2
D = b2 – 4ac =
(-4)2 – 4 . 3 . 2 = 16 – 24 = – 8
Ternyata bahwa D < 0. Jadi,
persamaan 3 x2 – 4 x + 2 = 0 tidak
mempunyai akar real.
3.
Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
- Persamaan kuadrat ax2 +
bx + c = 0 mempunyai akar x1 dan x2.
ax2 + bx
+ c = 0
x2 +
x + = 0
Contoh:
Akar-akar x2 – 3x
+ 4 = 0 adalah x1 dan x2. Dengan tanpa
menyelesaikan persamaan tersebut, hitunglah nilai:
- x1 + x2 c. x12 + x22
- x1.x2 d.
x13 + x23
Jawab:
x2 – 3 x + 4 = 0 ® a = 1
, b = –3 , c = 4
a. x1
+ x2 = 3
b. x1.x2
= 4
c. x12
+ x22 = x12 + x22
+ 2 x1.x2 – 2 x1.x2
= (x1 + x2)2
– 2 x1 x2 = 2 (-3)2 – 2 . 4 = 1
d. (x1 + x2)3
= x13 + 3 x12 x2
+ 3 x1 x22 + x23
= x13 +
3 x1 x2 (x1 + x2)
+ x23
x13 + x23 = (x1
+ x2)3 – 3 x1 x2
(x1 + x2)
= 33 – 3 . 4 (3)
= 27 – 36 = –9
4. Menyusun
Persamaan Kuadrat
4.
a.
Menyusun persamaan kuadrat dengan menggunakan perkalian faktor
Pada bahasan terdahulu, persamaan
kuadrat x2 + p x + q = 0 dapat
dinyatakan sebagai (x – x1) (x – x2)
= 0 sehingga diperoleh akar-akar persamaan itu x1 dan x2.
Dengan demikian jika akar-akar persamaan kuadrat x1 dan x2
maka persamaannya adalah (x – x1) (x – x2)
= 0.
Contoh 1:
Tentukan persamaan kuadrat yang
akar-akarnya 3 dan -2.
Jawab: (x – x1)
(x – x2) = 0
(x – 3) (x – (-2)) = 0
(x – 3) (x + 2) = 0
x2 – 3 x
+ 2 x – 6 = 0
x2 – x
– 6 = 0.
4.
b.
Menyusun persamaan kuadrat menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akar
Persamaan .
Dengan menggunakan x1
+ x2 = – dan x1 x2 =
, maka akan diperoleh persamaan:
x2 – (x1
+ x2)x + x1x2 = 0.
Contoh:
Tentukan persamaan kuadrat yang
akar-akarnya –2 dan –3.
Jawab: x1
+ x2 = -2 – 3 = – 5
x1 x2
= 6
Jadi, persamaan kuadratnya x2
– (–5)x + 6 = 0 atau x2 + 5x
+ 6 = 0.
5.
c.
Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya berkaitan dengan akar-akar
persamaan kuadrat lain
Contoh 1:
Susunlah persamaan kuadrat baru yang
akar-akarnya 3 lebih dari akar-akar persamaan x2 – 2x
+ 3 = 0.
Jawab:
Misal akar-akar persamaan x2
– 2x + 3 = 0 adalah x1 dan x2.
® x1 + x2 = 2 , x1
x2 = 3.
Jika akar-akar persamaan kuadrat
baru adalah p dan q, maka p = x1 + 3
dan q = x2 +3
p
+ q = (x1 + 3) + (x2 +
3)
p q = (x1 + 3) (x2 + 3)
= x1 + x2
+
6
= x1 x2 + 3(x1
+ x2) + 9
= 2 + 6 =
8
= 3 + 2(2) = 9 = 18
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya p
dan q adalah x2 – (p + q) + pq =
0.
Persamaan kuadrat baru adalah x2
– 8x + 18 = 0.
Contoh 2:
Susunlah persamaan kuadrat baru yang
akarnya 2 kali akar persamaan 2x2 – 3x + 1 = 0.
Jawab:
Misalkan akar-akar persamaan 2x2
– 3x + 1 = 0 adalah x1 dan x2 serta
persamaan kuadrat baru adalah a dan b, maka a = 2x1 dan
b = 2x2
a + b = 2(x1 + x2)
= 2
a b = 2x1 . 2x2
= 4x1 x2 = 4 . = 2
Persamaan kuadrat yang akarnya a dan
b adalah:
x2 – (a + b)x
+ ab = 0.
Persamaan kuadrat baru
adalah x2 – 3x + 2 = 0..
B. Fungsi Kuadrat
- 1. Pengertian
Fungsi f pada R yang ditentukan
oleh: f(x) = ax2 + bx + c dengan
a, b, dan c bilangan real dan disebut fungsi
kuadrat.
Jika f(x) = 0 maka
diperoleh persamaan kuadrat ax2 + bx + c
= 0. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan itu disebut nilai pembuat nol
fungsi f.
Nilai fungsi f untuk x = p
ditulis f(p) = ap2 + bp + c.
Contoh 1:
Ditentukan: f(x) = x2
– 6x – 7
Ditanyakan:
- nilai pembuat nol fungsi f
- nilai f untuk x = 0 , x = –2
Jawab:
- Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jika f(x) =
0
x2 – 6 x
– 7 = 0
(x – 7) (x + 1) = 0
x
= 7 atau x = –1
Jadi pembuat nol fungsi f
adalah 7 dan –1
- Untuk x = 0 maka f(0) =
–7
x
= –2 maka f(–2) = (–2)2 – 6 (–2) – 7 = 9
Contoh 2:
Tentukan nilai p agar ruas
kanan f(x) = 3 x2 + (p – 1) + 3
merupakan bentuk kuadrat sempurna.
Jawab :
Supaya merupakan suatu kuadrat
sempurna, syaratnya D = 0.
D = (p – 1)2 – 4 .
3 . 3 = 0
p2 – 2p
– 35 = 0
(p – 7) (p + 5) = 0
p
= 7 atau p = –5
Jadi, agar ruas kanan f(x)
merupakan suatu kuadrat sempurna, maka p = 7 atau p = –5.
Periksalah jawaban itu.
- 2. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Kuadrat
Untuk menentukan nilai
maksimum/minimum fungsi kuadrat, perhatikan uraian berikut:
1)
f(x) = x2 – 2x – 3
= x2 – 2x +
1 – 4
=(x – 1)2 – 4
Bentuk kuadrat selalu bernilai
positif atau nol, maka (x – 1)2 mempunyai nilai paling kecil
(minimum) nol untuk x = 1. Dengan demikian (x – 1)2
– 4 mempunyai nilai terkecil 0 – 4 = –4.
Jadi, f(x) = x2
– 2x – 3 mempunyai nilai terkecil (minimum) –4 untuk x = 1.
2)
f(x) = –x2 + 4x + 5
= –x2 + 4x
– 4 + 9
= –(x2 – 4x
+ 4) + 9
= –(x – 2)2 + 9
Nilai terbesar dari – (x – 2)2
sama dengan nol untul x = 2.
Dengan demikan nilai terbesar dari –
(x – 2)2 + 9 adalah 0 + 9 = 9.
Jadi, f(x) = –(x
– 2)2 + 9 atau f(x) = –x2 + 4x
+ 5 mempunyai nilai terbesar (maksimum) 9 untuk x = 2.
Sekarang perhatikan bentuk
umum f(x) = ax2 + bx + c
Dengan uraian di atas, diperoleh:
Fungsi kuadrat f(x) = a
x2 + b x + c
Untuk a > 0, f
mempunyai nilai minimum untuk
Untuk a < 0, f
mempunyai nilai maksimum untuk
Contoh:
Tentukan nilai minimum fungsi f(x)
= 2x2 + 4x + 7
Jawab:
f(x)
= 2x2 + 4x + 7 , a = 2
, b = 4 , c = 7
Nilai minimum fungsi f = 5
- 3. Grafik Fungsi Kuadrat
Langkah2 menggambar grafik y = ax2 + bx +c adalah sebagai berikut :
1. Titik potong sumbu x, y = 0
2.
Titik potong sumbu y, x = 0
3. Persamaan
sumbu simetri -b/2a
4. Menentukan nilai
maksimum dan minimum b2- 4ac/-4a
5. Koordinat titik puncak
(ekstrim) {(-b/2a),(b2-
4ac/-4a)}
=> Apabila dari langkah
1 - 5 belum terbentuk sketsa parabola maka ambillah titik bantu yaitu nilai x
di sekitar persamaan sumbu simetri.
Contoh
Soal :
1. Gambarlah graik fungsi
kuadrat y = x2 - 4x - 5
Jawaban
:
a. Titik
potong sumbu x, y = 0.
y = x2 - 4x -
5 =>
0 = (x - 5) (x + 1) , x = -1 , 5
0
= x2 - 4x -
5
Titik potong sumbu x (-1,0) dan (5,0)
b. Titik potong sumbu y, x = 0.
y = x2 - 4x -
5
y = (0)2 - 4(0)
- 5
y = -5
maka titk potong sumbu y adalah (0,-5)
c.
Persamaan sumbu simetri -b/2a
= -(-4)/2.1
= 2
d. Nilai
maks/min b2- 4ac /-4a
= {(-4)2 - 4.1.(-5)} / -4(1)
= 36/-4
= -9
e. Titik
puncak {(-b/2a),(b2- 4ac/-4a)}
= (2,-9)
4. Menentukan
Fungsi Kuadrat yang Grafiknya Memenuhi Syarat-syarat Tertentu
Suatu fungsi kuadrat dapat
ditentukan apabila fungsi itu:
- melalui tiga titik yang berlainan.
- memotong sumbu-X dan melalui sebuah titik lain.
- melalui sebuah titik dan koordinat titik terendah/tertinggi
diketahui.
- menyinggung sumbu-X dan melalui sebuah titik.
- a. Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui tiga buah
titik
Contoh:
Tentukan persamaan grafik fungsi
kuadrat yang melalui titik (–1 , 0) , ( 1 , 8 ) dan ( 2, 6 ).
Jawab :
Misal persamaan grafik adalah y
= a x2 + b x + c
Grafik melalui titik (–1 , 0)
® 0 = a(–1)2 + b (–1) + c
0 = a – b + c ……………….
(1)
Grafik melalui titik (1 , 8)
® 8 =a (1)2 + b (1) + c
8 = a + b + c
………………. (2)
Grafik melalui titik ( 2 , 6 )
® 6 = a (2)2 + b (2) + c
6 = 4 a + 2 b + c
…………… (3)
Dari persamaan (1), (2), dan (3)
dapat ditentukan nilai a, b, dan c dengan cara eliminasi.
(1) a + b + c
= 8
(2) 4a + 2b + c =
6 (3)
–2 – 4 + c = 0
–2b = –8
3a – b
=
2
c = 6
b
=
4
– 3a
– 4 = 2
a
= –2
Jadi, fungsi kuadrat itu
adalah y = –2x2 + 4x + 6.
c.
Fungsi
kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X
Rumus : y = a x2
+ b x + c Û y = ax2 – a(p
+ q)x + pqa
= a(x2
– (p + q)x + pq)
= a(x – p) (x
– q)
Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang
grafiknya memotong sumbu-X di titik (–5,0) dan (1,0), serta melalui titik (–3,
–8) !
Jawab:
Grafik memotong sumbu-X di titik
(–5,0) dan (1,0), maka fungsi kuadratnya
y
= a(x – (–5)) (x – 1)
= a(x + 5) (x –
1)
Grafik melalui titik (–3, –8),
berarti
–8 = a(–3+5) (–3 – 1)
= –8a
a
= 1
Substitusikan a = 1
pada y = a(x + 5) (x – 1) sehingga
diperoleh y = x2 + 4x – 5.
Jadi, fungsi kuadratnya adalah y
= x2 + 4x – 5.
c. Menentukan fungsi kuadrat jika
koordinat titik puncak grafik fungsi itu diketahui
Koordinat titik tertinggi/ terendah
grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c
adalah .
Dengan melihat kembali kajian
terdahulu, maka fungsi kuadrat y = ax2 + bx
+ c dapat
dinyatakan dengan .
Sehingga fungsi kuadrat yang
berpuncak di (p , q) adalah y = a (x
– p)2 + q
Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang
grafiknya mempunyai titik tertinggi (1,3) dan melalui titik (0,0).
Jawab:
Fungsi kuadrat yang grafiknya
berpuncak di (1,3) adalah y = (x – 1)2 + 3
Grafik melalui titik (0,0) berarti:
0 = a(0 – 1) + 3
0 = a + 3
a
= –3
Substitusikan a = –3
pada y = a (x – 1)2 + 3 maka diperoleh
y
= –3 (x – 1)2 + 3
y
= –3 (x2 – 2x + 1) + 3
y
= –3x2 + 6x
Jadi, fungsi kuadratnya adalah y
= –3x2 + 6x.
d. Fungsi kuadrat yang
grafiknya menyinggung sumbu-X
Perhatikan kembali bahasan tentang
“Titik potong grafik dengan sumbu-X”. Grafik akan menyinggung sumbu-X jika dan
hanya jika b2 – 4ac = 0, maka koordinat titik
tertinggi atau terendah adalah (,0). Jadi, fungsi kuadrat yang grafiknya
menyinggung sumbu-X adalah Sehingga fungsi kuadrat yang grafiknya
menyinggung sumbu X adalah y = a(x – p)2
Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang
grafiknya menyinggung sumbu-X di titik (2,0) dan melalui titik (0,4) !
Jawab:
Fungsi kwadrat yang grafiknya
menyinggung sumbu X di (2,0) adalah
y
= a (x – 2)2
Grafik melalui titik (0,4) berarti :
4 = a(0 – 2)2 = 4a
a
= 1
Jadi, fungsi kuadrat itu y =
1(x – 2)2 atau y = x2 – 4x +
4.
- c. Persamaan Garis Singgung pada Grafik Fungsi Parabola
Koordinat titik potong antara
garis y = mx + n dan grafik fungsi kuadrat y = ax2
+ bx+c diperoleh dengan mencari nilai x dan y yang
memenuhi kedua persamaan tersebut.
Garis lurus ® y = mx + n …(1)
Parabola ® y = ax2 + bx + c
…(2)
Persamaan (1) disamakan dengan
persamaan (2), maka diperoleh ax2 + (b – m)x
+ c – n, merupakan persamaan kuadrat dalam x, sehingga
terdapat kemungkinan sebagai berikut:
1)
D > 0 mempunyai dua akar real berlainan yang berarti terdapat
dua titik potong atau garis memotong parabola.
2)
D = 0 mempunyai sebuah akar kembar, yang berarti mempunyai sebuah
titik persekutuan atau garis menyinggung parabola.
3)
D < 0 tidak mempunyai akar real, yang berarti garis tidak
memotong parabola.
Contoh 1:
Tentukan koordinat titik potong
garis y = x + 5 dengan parabola y = x2
– 3x.
Jawab: y = x
+ 5 dan y = x2 – 3x disamakan
x
+ 5 = x2 – 3 x Untuk x = 5
maka y = 5 + 5 = 10
x2 – 4 x
– 5 =
0
Untuk x = –1 maka y = –1 + 5 = 4
(x – 5) (x + 1) = 0
x
= 5 dan x = –1
Jadi, koordinat titik potong antara
garis y = x + 1 dan parabola y = x2
– 3x
adalah (5, 10) dan (–1, 4).
Contoh 2:
Tentukan nilai m, supaya
garis y = x + m menyinggung parabola y = x2
– 2 .
Jawab: y = x
+ m dan y = x2 – 2 disamakan
x
+ m = x2 – 2
x2 – 2x
– 2m – 2 = 0
Syarat supaya bersinggungan: D = 0.
D = (-2)2 – 4 . 1 (2m
– 2) = 0
4 + 8m + 4 = 0
8m = –8
m
= –1
Jadi, agar garis menyinggung
parabola maka m = –1.
