CERITA ISLAM

              KI AGENG SELO (SANG PENAKLUK PETIR)

Ki Ageng Selo diwaktu mudanya bernama Bagus Songgom. Beliau seorang pemuda yang sombong karena merasa masih keturunan seorang yang berwibawa. Namun setelah melewati berbagai pengalaman hidup yang pahit, beliau sadar akan keterbatasannya sebagai hamba tuhan. Sehingga beliau bertaubat kepada Allah swt. dan mengutamakan bertapa.

Ki Ageng Selo adalah seorang petani yang sangat disiplin. Beliau mempunyai sawah sendiri yang diberi nama ‘SABANLAH’ karena dalam menggarap sawah selalu membaca tasbih. Suatu hari saat gerimis, beliau berangkat ke sawah. Lalu tibalah seorang kakek berjalan menuju kearah kilat yang menyambar-nyambar. Bagus songgom kaget melihat kakek itu. Tiba-tiba kakek itu berubah menjadi naga dan berkali-kali menjadi makhluk yang mengerikan. Bagus songgom merasa terganggu dan akhirnya marah. Kemudian terjadilah perkelahian. Hingga akhirnya dikalahkannya makhluk itu dan diikatnya di pohon Gandri. Anehnya muncul cahaya terang yang dibarengi dengan berubah wujud menjadi kakek tua lagi. Mendengar berita tertangkapnya petir oleh ki ageng selo, kemudian datanglah Sunan Kalijaga menemuinya.

CERPEN

“Ceret Ajaib”

Di Desa Pucung ada seorang kakek pemulung yang sudah ditinggal mati oleh istrinya. Dia hidup dengan 3 anaknya yang cacat. Anak pertama namanya Wiji. Dia terkena penyakit dibagian wajah. Anak kedua namanya Reni. Kakinya tidak bisa berjalan. Anak ketiga namanya Nita. Disekujur tubuhnya menimbulkan bau yang tidak sedap. Akhirnya semua warga kampung menghina keluarga mereka.

Suatu hari, kakek Tarno memulung di TPA. Tiba-tiba dia menemukan ceret berwarna emas. Kemudiian ceret itu ia bawa pulang. Setibanya di rumah, kakek tidak sengaja menggosok benda itu. Tiba-tiba keluarlah wanita cantik yang menyerupai jin. Kakek Tarno terkejut dan wanita itu berkata “terima kasih tuan, anda telah membebaskan aku dari ceret ini selama ribuan tahun. Sekali lagi terima kasih tuan.”. “siapa kamu?” tanya kakek. “tenang tuan tenang, jangan takut padaku. Aku ini sebenarnya putri yang disihir oleh ibu tiriku.” jawab wanita itu dengan sedih. Dalam keadaan masih shock kakek bertanya “lalu kamu mau tinggal dimana?” “sekarang aku hanya tinggal di ceret ini dan bisakah kakek menjaga ceret ini?”seru si wanita. Kakek terdiam lalu menjawab “baiklah.”, “terima kasih tuan. Sebagai gantinya aku akan mengabulkan 3 permintaan tuan.” Katanya dengan riang. Kakek pun berkata “aku minta sembuhkanlah penyakit anak-anakku!” “baiklah tuan” jawab si wanita

            Saat pagi tiba, ketiga anak kakek Tarno terbangun dan mereka kaget karena tidak cacat lagi. Mereka sangat bahagia. Akan tetapi, mereka ingin tahu apa penyebab semua ini. Akhirnya Wiji dan Reni menyelidikinya sampai mereka tahu bahwa penyebabnya adalah ceret emas milik ayahnya. Tidak sengaja Wiji menggosok ceret itu dan munculah wanita jin. “ada apa tuan? kenapa memanggilku aku sedang mengantuk” tanya si wanita. “woy tante jin’ seru Wiji. “eh ternyata anak-anak tuan yang cantik ada apa sayang?” kata si wanita. “ begini, tante jin pasti bisa ngabulin semua permintaan kami kan? Nah kami minta perhiasan dan uang sekarang oke!” kata Wiji. “tentu saja bisa” lalu munculah perhiasan dan sejumlah uang. “terima kasih tante jin” seru Reni dan Wiji. Kemudian mereka berjalan-jalan di kampung sambil memamerkan perhiasannya. “hay kalian semua, lihat ini perhiasan kita mahal-mahal tau. Jadi sekarang kalian tidak bisa lagi menghina kita” kata Reni sambil berlalu melewati sekumpulan ibu-ibu. “sombong sekali mereka baru saja punya perhiasan bagaimana kalu mereka punya istana” seru salah satu ibu-ibu.

            Setibanya di rumah mereka menggosok ceret ajaib itu lagi. “tante jin keluarlah!” lalu keluarnya dia. “ada apa sayang?” tanya si wanita “kami minta rumah kami diubah seperti istana sekarang juga!” kata Wiji. “baiklah akan kurubah sekarang”. Tiba-tiba rumah mereka yang awalnya kardus menjadi seperti istana.

Kakek Tarno yang baru pulang dari memulung sangat kaget karena didapatinya rumah seperti istana. “ini rumah siapa? Bukankah disini alamat rumahku ?” seru kakek. Lalu kakek pun masuk ke rumah itu da dia melihat ketiga anaknya. “selamat datang bapak di rumah baru kita” kata Nita bahagia. “kok bisa begini?” Tanya kakek. “bukan urusan bapak yang penting kita sudah kaya raya dan bapak tidak perlu memulung lagi” kata Wiji. Kakek Tarno terdiam sejenak sambil bertanya dalam hati (pasti anak-anakku telah mengetahui keberadaan ceret itu). “Wiji memulung adalah satu-satunya pekerjaaan bapak jadi bapak tidak mau meninggalkannya” jawab kakek. “kalau bapak tidak mau, sekarang juga bapak angkat kaki dari sini bikin malu saja” kata Reni. Kakek Tarno sangat sedih mendengar perkataan Reni. Lalu kakek Tarno diantarkan ke kamarnya oleh Nita dan dia bersiap diri pergi dari rumah. Tidak lupa juga kakek Tarno membawa ceret emas itu. Akhirnya kakek Tarno pergi dan diikuti oleh anaknya Nita.

Di bawah sebuah pohon yang rindang, kakek Tarno dan Nita beristirahat sejenak. Saat itu kek Tarno mengambil ceret ajaib dan menggosoknya. “hai wanita jin, tolonglah aku supaya anak-anakku sadar dari kesombongan ini!” perintah si Kakek. “baik tuan segera ku lakukan.”. Setelah itu Wiji dan Reni pun sadar lalu mencari ayah dan adiknya. Akhirnya mereka bertemu dan dibawalah kakek dan Nita kembali ke rumah. Kemudian mereka hidup bahagia selamanya. Namun saat itu, wanita jin sudah tidak bersama mereka lagi. Kakek Tarno telah menghanyutkan ceret itu ke sungai supaya ditemukan oleh orang yang lebih membutuhkan. 

meaning of colour (arti warna)

1. Warna Merah

Warna merah memberi arti gairah dan memberi energy dan menyerukan terlaksananya suatu tindakan.

2. Warna Oranye

Oranye merupakan kombinasi antara warna merah dan kuning.

Warna oranye memberi kesan hangat dan bersemangat. Warna ini merupakan symbol dari petualangan, optimisme, percaya diri dan kemampuan dalam bersosialisasi. Warna oranye sebagai peleburan dari warna merah dan kuning, sama-sama memberi efek yang kuat dan hangat.

 3. Warna Kuning

Warna kuning memberi arti kehangatan dan rasa bahagia dan seolah ingin menimbulkan hasrat untuk bermain. Dengan kata lain warna ini juga mengandung makna optimis, semangat dan ceria.

4. Warna Biru

Warna biru umumnya memberi efek menenangkan dan diyakini mampu mengatasi insomnia, kecemasan, tekanan darah tinggi dan migraine. Didalam dunia bisnis warna biru disebut sebagai warna corporate karena hampir sebagian besar perusahaan menggunakan biru sebagai warna utamanya. Hal ini dikarenakan warna biru mampu memberi kesan profesional dan kepercayaan.

 

 

5. Warna Hijau.

Warna hijau adalah warna yang identik dengan alam dan mampu memberi suasana tenang dan santai.

6. Warna Hitam

Warna hitam adalah warna yang akan memberi kesan suram, gelap dan menakutkan namun juga elegan

7. Warna Putih

Salah satu kelebihan warna putih adalah kemampuannya untuk membantu mengurangi rasa nyeri.

8. Warna Coklat

Warna coklat adalah salah satu warna yang mengandung unsur bumi. Dominasi warna ini akan memberi kesan hangat, nyaman dan aman.

persamaan dan fungsi kuadrat kelas 10 sma

Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat

A.      Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat dalam x mempunyai bentuk umum:

ax² + bx + c = 0 , a ¹ 0                   a, b dan c adalah bilangan real.

1. a. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan

ax² + bx + c = 0   dapat dinyatakan menjadi a (x – x₁) (x – x₂) = 0.

Nilai x₁ dan x₂ disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat.

Contoh  :

Tentukan penyelesaian dari 2 x² + 7 x + 6 = 0.

Jawab:    2 x² + 7 x + 6 = 0

2 x² + 4 x + 3 x + 6 = 0

2 x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0

(x + 2) (2 x + 3) = 0

x +2 = 0     atau  2 x + 3 = 0

x = –2   atau           x = – 1

Jadi, penyelesaiannya adalah  –2 dan –1.

1. b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna

Persamaan kuadrat  ax² + bx + c = 0   dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi (x + p)² = q.

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari x² – 6 x + 5 = 0.

Jawab:   x² – 6 x + 5 = 0

x² – 6 x + 9 – 4 = 0

x² – 6 x + 9 = 4

(x – 3)² = 4

x – 3 = 2  atau x – 3 = –2

x = 5    atau     x = 1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.

1. c. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus

Rumus penyelesaian persamaan kuadrat a x² + b x + c = 0 adalah

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari x² + 7x – 30 = 0.

Jawab:   x² + 7x – 30 = 0

a = 1  ,  b = 7  ,  c = – 30

x = 3   atau   x = –10

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–10 , 3}.

2.      Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat

Kita perhatikan kembali persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0  dengan akar-akarnya  ,  b² – 4ac disebut diskriminan (D). Apabila:

1. D > 0  maka  ÖD  merupakan bilangan real positif, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berlainan,       .
2. D = 0  maka  ÖD = 0, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real sama.                .
3. D < 0  maka  ÖD  merupakan bilangan tidak real (imajiner), maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau persamaan kuadrat mempunyai akar tidak real.

Contoh :

1. x² + 5 x + 2 = 0

a = 1  ,  b = 5  ,  c = 2

D = b² – 4ac = 5² – 4 . 1 . 2 = 25 – 8 = 17

Ternyata  D > 0. Jadi, persamaan x² + 5 x + 2 = 0  mempunyai dua akar real berlainan.

2.      x² – 10 x + 25 = 0

a = 1  , b = -10  ,  c = 25

D = b² – 4ac = (-10)² – 4 . 1 . 25 = 100 – 100 = 0

Karena  D = 0, maka persamaan x² – 10 x + 25 = 0  mempunyai dua akar real sama.

3.      3 x² – 4 x + 2 = 0

a = 3  ,  b = –4  ,  c = 2

D = b² – 4ac = (-4)² – 4 . 3 . 2 = 16 – 24 = – 8

Ternyata bahwa  D < 0. Jadi, persamaan  3 x² – 4 x + 2 = 0  tidak mempunyai akar real.

3.      Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat

1. Persamaan kuadrat   ax² + bx + c = 0 mempunyai akar x₁ dan x₂.

ax² + bx + c = 0

x² + x + = 0

Contoh:

Akar-akar x² – 3x + 4 = 0 adalah x₁ dan x₂. Dengan tanpa menyelesaikan persamaan tersebut, hitunglah nilai:

1. x₁ + x₂              c. x₁² + x₂²
2. x₁.x₂                 d.   x₁³ + x₂³

Jawab:          x² – 3 x + 4 = 0  ®  a = 1  ,  b = –3  , c = 4

a.   x₁ + x₂ = 3

b.   x₁.x₂ = 4

c.   x₁² + x₂² = x₁² + x₂² +  2 x₁.x₂ – 2 x₁.x₂

= (x₁ + x₂)² – 2 x₁ x₂ = 2 (-3)² – 2 . 4 = 1

d. (x₁ + x₂)³ = x₁³ + 3 x₁² x₂ + 3 x₁ x₂² + x₂³

= x₁³ + 3 x₁ x₂ (x₁ +  x₂) + x₂³

x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ – 3 x₁ x₂ (x₁ + x₂)

= 3³ – 3 . 4 (3)

= 27 – 36 = –9

4.     Menyusun Persamaan Kuadrat

4.      a. Menyusun persamaan kuadrat dengan menggunakan perkalian faktor

Pada bahasan terdahulu, persamaan kuadrat   x² + p x + q = 0 dapat dinyatakan sebagai (x – x₁) (x – x₂) = 0 sehingga diperoleh akar-akar persamaan itu x₁ dan x₂. Dengan demikian jika akar-akar persamaan kuadrat x₁ dan x₂ maka persamaannya adalah (x – x₁) (x – x₂) = 0.

Contoh 1:

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan -2.

Jawab:   (x – x₁) (x – x₂) = 0

(x – 3) (x – (-2)) = 0

(x – 3) (x + 2) = 0

x² – 3 x + 2 x – 6 = 0

x² – x – 6 = 0.

4.      b. Menyusun persamaan kuadrat menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akar

Persamaan .

Dengan menggunakan x₁ + x₂ = – dan x₁ x₂ = , maka akan diperoleh persamaan:

x² – (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0.

Contoh:

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya –2 dan –3.

Jawab:   x₁ + x₂ = -2 – 3 = – 5

x₁ x₂ = 6

Jadi, persamaan kuadratnya x² – (–5)x + 6 = 0   atau   x² + 5x + 6 = 0.

5.      c. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya berkaitan dengan akar-akar persamaan kuadrat lain

Contoh 1:

Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 lebih dari akar-akar persamaan x² – 2x + 3 = 0.

Jawab:

Misal akar-akar persamaan x² – 2x + 3 = 0 adalah x₁ dan x₂.  ®  x₁ + x₂ =  2  ,  x₁ x₂ = 3.

Jika akar-akar persamaan kuadrat baru adalah p dan q, maka p = x₁ + 3 dan  q =  x₂ +3

p + q = (x₁ + 3) + (x₂ + 3)                                 p q = (x₁ + 3) (x₂ + 3)

= x₁ + x₂ + 6                                                  = x₁ x₂ + 3(x₁ + x₂) + 9

= 2 + 6 = 8                                                    = 3 + 2(2) = 9 = 18

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya p dan q adalah x² – (p + q) + pq = 0.

Persamaan kuadrat baru adalah x² – 8x + 18 = 0.

Contoh 2:

Susunlah persamaan kuadrat baru yang akarnya 2 kali akar persamaan 2x² – 3x + 1 = 0.

Jawab:

Misalkan akar-akar persamaan 2x² – 3x + 1 = 0 adalah x₁ dan x₂ serta persamaan kuadrat baru adalah a dan b, maka a = 2x₁ dan  b = 2x₂

a + b = 2(x₁ + x₂) = 2

a b = 2x₁ . 2x₂ = 4x₁ x₂ = 4 .  = 2

Persamaan kuadrat yang akarnya a dan b adalah:

x² – (a + b)x + ab = 0.

Persamaan kuadrat baru adalah    x² – 3x + 2 = 0..

B.    Fungsi Kuadrat

1. 1. Pengertian

Fungsi f pada R yang ditentukan oleh: f(x) = ax² + bx + c dengan a, b, dan c bilangan real dan  disebut fungsi kuadrat.

Jika f(x) = 0 maka diperoleh persamaan kuadrat  ax² + bx + c = 0. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan itu disebut nilai pembuat nol fungsi f.

Nilai fungsi f untuk x = p ditulis f(p) = ap² + bp + c.

Contoh 1:

Ditentukan: f(x) = x² – 6x – 7

Ditanyakan:

1. nilai pembuat nol fungsi f
2. nilai f untuk x = 0 , x = –2

Jawab:

1. Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jika f(x) = 0

x² – 6 x – 7 = 0

(x – 7) (x + 1) = 0

x = 7  atau  x = –1

Jadi pembuat nol fungsi f adalah 7  dan –1

1. Untuk  x = 0   maka f(0) = –7

x = –2  maka f(–2) = (–2)² – 6 (–2) – 7 = 9

Contoh 2:

Tentukan nilai p agar ruas kanan f(x) = 3 x² + (p – 1) + 3 merupakan bentuk kuadrat sempurna.

Jawab :

Supaya merupakan suatu kuadrat sempurna, syaratnya D = 0.

D = (p – 1)² – 4 . 3 . 3 = 0

p² – 2p – 35 = 0

(p – 7) (p + 5) = 0

p = 7   atau   p = –5

Jadi, agar ruas kanan f(x) merupakan suatu kuadrat sempurna, maka p = 7 atau p = –5.

Periksalah jawaban itu.

1. 2. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Kuadrat

Untuk menentukan nilai maksimum/minimum fungsi kuadrat, perhatikan uraian berikut:

1)       f(x) = x² – 2x – 3

= x² – 2x + 1 – 4

=(x – 1)² – 4

Bentuk kuadrat selalu bernilai positif atau nol, maka (x – 1)² mempunyai nilai paling kecil (minimum) nol untuk x = 1. Dengan demikian (x – 1)² – 4 mempunyai nilai terkecil 0 – 4 = –4.

Jadi, f(x) = x² – 2x – 3 mempunyai nilai terkecil (minimum) –4 untuk x = 1.

2)       f(x) = –x² + 4x + 5

= –x² + 4x – 4 + 9

= –(x² – 4x + 4) + 9

= –(x – 2)² + 9

Nilai terbesar dari – (x – 2)² sama dengan nol untul x = 2.

Dengan demikan nilai terbesar dari – (x – 2)² + 9 adalah 0 + 9 = 9.

Jadi, f(x) = –(x – 2)² + 9 atau f(x) = –x² + 4x + 5 mempunyai nilai terbesar (maksimum) 9 untuk x = 2.

Sekarang perhatikan bentuk umum  f(x) = ax² + bx + c

Dengan uraian di atas, diperoleh:

Fungsi kuadrat f(x) = a x² + b x + c

Untuk a > 0, f mempunyai nilai minimum  untuk

Untuk a < 0, f mempunyai nilai maksimum  untuk

Contoh:

Tentukan nilai minimum fungsi f(x) = 2x² + 4x + 7

Jawab:

f(x) = 2x² + 4x + 7  ,  a = 2  ,  b = 4  , c = 7

Nilai minimum fungsi f = 5

1. 3. Grafik Fungsi Kuadrat

Langkah2 menggambar grafik y = ax² + bx +c adalah sebagai berikut :

1. Titik potong sumbu x, y = 0

2. Titik potong sumbu y, x = 0

3. Persamaan sumbu simetri -b/2a

4. Menentukan nilai maksimum dan minimum b²- 4ac/-4a

5. Koordinat titik puncak (ekstrim) {(-b/2a),(b²- 4ac/-4a)}

=> Apabila dari langkah 1 - 5 belum terbentuk sketsa parabola maka ambillah titik bantu yaitu nilai x di sekitar persamaan sumbu simetri. 

Contoh Soal :

1. Gambarlah graik fungsi kuadrat y = x² - 4x - 5

    Jawaban : 

    a. Titik potong sumbu x, y = 0.

          y = x² - 4x - 5       =>       0 = (x - 5) (x + 1) , x = -1 , 5

0        = x² - 4x - 5                   Titik potong sumbu x (-1,0) dan (5,0)

 b. Titik potong sumbu y, x = 0.

         y = x² - 4x - 5                                                                                        

y = (0)² - 4(0) - 5

         y = -5

        maka titk potong sumbu y adalah (0,-5)

    c. Persamaan sumbu simetri -b/2a

        = -(-4)/2.1

        = 2

    d. Nilai maks/min b²- 4ac /-4a

        = {(-4)² - 4.1.(-5)} / -4(1)

        = 36/-4

        = -9

    e. Titik puncak {(-b/2a),(b²- 4ac/-4a)} 

        = (2,-9)

4.     Menentukan Fungsi Kuadrat yang Grafiknya Memenuhi Syarat-syarat Tertentu

Suatu fungsi kuadrat dapat ditentukan apabila fungsi itu:

1. melalui tiga titik yang berlainan.
2. memotong sumbu-X dan melalui sebuah titik lain.
3. melalui sebuah titik dan koordinat titik terendah/tertinggi diketahui.
4. menyinggung sumbu-X dan melalui sebuah titik.

1. a. Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui tiga buah titik

Contoh:

Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik (–1 , 0) , ( 1 , 8 ) dan ( 2, 6 ).

Jawab :

Misal persamaan grafik adalah  y = a x² + b x + c

Grafik melalui titik (–1 , 0)  ®  0 = a(–1)² + b (–1) + c

0 = a – b + c ………………. (1)

Grafik melalui titik (1 , 8)  ®    8 =a (1)² + b (1) + c

8 = a + b + c ………………. (2)

Grafik melalui titik ( 2 , 6 )  ®  6 = a (2)² + b (2) + c

6 = 4 a + 2 b + c …………… (3)

Dari persamaan (1), (2), dan (3) dapat ditentukan nilai a, b, dan c dengan cara eliminasi.

 (1)   a + b + c = 8                                 (2)   4a + 2b + c = 6                      (3)   –2 – 4 + c = 0

–2b = –8                                       3a –   b = 2                                            c = 6

b = 4                                               – 3a – 4 = 2

a = –2                                     

Jadi, fungsi kuadrat itu adalah   y = –2x² + 4x + 6.

c.       Fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X

Rumus : y = a x² + b x + c Û  y = ax² – a(p + q)x + pqa

     = a(x² – (p + q)x + pq)

     = a(x – p) (x – q)

Contoh:

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik (–5,0) dan (1,0), serta melalui titik (–3, –8) !

Jawab:

Grafik memotong sumbu-X di titik (–5,0) dan (1,0), maka fungsi kuadratnya

y = a(x – (–5)) (x – 1)

= a(x + 5) (x – 1)

Grafik melalui titik (–3, –8), berarti

–8 = a(–3+5) (–3  – 1)

=  –8a

a = 1

Substitusikan a = 1 pada  y = a(x + 5) (x – 1) sehingga diperoleh   y = x² + 4x – 5.

Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = x² + 4x – 5.

c. Menentukan fungsi kuadrat jika koordinat titik puncak grafik fungsi itu diketahui

Koordinat titik tertinggi/ terendah grafik fungsi kuadrat y = ax² + bx + c adalah .

Dengan melihat kembali kajian terdahulu, maka fungsi kuadrat  y = ax² + bx + c dapat

dinyatakan dengan .

Sehingga fungsi kuadrat yang berpuncak di (p , q) adalah  y = a (x – p)² + q

Contoh:

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik tertinggi (1,3) dan melalui titik (0,0).

Jawab:

Fungsi kuadrat yang grafiknya berpuncak di (1,3) adalah  y = (x – 1)² + 3

Grafik melalui titik (0,0) berarti:

0 = a(0 – 1) + 3

0 = a + 3

a = –3

Substitusikan a = –3 pada   y = a (x – 1)² + 3 maka diperoleh

y = –3 (x – 1)² + 3

y = –3 (x² – 2x + 1) + 3

y = –3x² + 6x

Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = –3x² + 6x.

d.   Fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X

Perhatikan kembali bahasan tentang “Titik potong grafik dengan sumbu-X”. Grafik akan menyinggung sumbu-X jika dan hanya jika b² – 4ac = 0, maka koordinat titik tertinggi atau terendah adalah (,0). Jadi, fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X adalah  Sehingga fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X adalah y = a(x – p)²

Contoh:

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X di titik (2,0) dan melalui titik (0,4) !

Jawab:

Fungsi kwadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X di (2,0) adalah

y = a (x – 2)²

Grafik melalui titik (0,4) berarti :

4 = a(0 – 2)² = 4a

a = 1

Jadi, fungsi kuadrat itu y = 1(x – 2)² atau  y = x² – 4x + 4.

1. c. Persamaan Garis Singgung pada Grafik Fungsi Parabola

Koordinat titik potong antara garis  y = mx + n dan grafik fungsi kuadrat y = ax² + bx+c diperoleh dengan mencari nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan tersebut.

Garis lurus ®  y = mx + n …(1)

Parabola ®  y = ax² + bx + c …(2)

Persamaan (1) disamakan dengan persamaan (2), maka diperoleh  ax² + (b – m)x + c – n, merupakan persamaan kuadrat dalam x, sehingga terdapat kemungkinan sebagai berikut:

1)         D > 0  mempunyai dua akar real berlainan yang berarti terdapat dua titik potong atau garis memotong parabola.

2)         D = 0  mempunyai sebuah akar kembar, yang berarti mempunyai sebuah titik persekutuan atau garis menyinggung parabola.

3)         D < 0  tidak mempunyai akar real, yang berarti garis tidak memotong parabola.

Contoh 1:

Tentukan koordinat titik potong garis  y = x + 5  dengan parabola  y = x² – 3x.

Jawab:   y = x + 5  dan  y = x² – 3x disamakan

x + 5 = x² – 3 x Untuk  x = 5  maka   y = 5 + 5 = 10

x² – 4 x – 5 = 0                                                      Untuk  x = –1  maka  y = –1 + 5 = 4

(x – 5) (x + 1) = 0

x = 5  dan  x = –1

Jadi, koordinat titik potong antara garis y = x + 1  dan  parabola y = x² – 3x

adalah  (5, 10) dan (–1, 4).

Contoh 2:

Tentukan nilai m, supaya garis  y = x + m menyinggung parabola y = x² – 2 .

Jawab:   y = x + m dan  y = x² – 2   disamakan

x + m = x² – 2

x² – 2x – 2m – 2 = 0

Syarat supaya bersinggungan: D = 0.

D = (-2)² – 4 . 1 (2m – 2) = 0

4 + 8m + 4 = 0

8m = –8

m = –1

Jadi, agar garis menyinggung parabola maka m = –1.